Интеграл (2-3*x)^5 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           5   
 |  (2 - 3*x)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(- 3 x + 2\right)^{5}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - 3 x + 2$.

      Тогда пусть $du = - 3 dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

      $\int u^{5}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{5}\, du = - \frac{1}{3} \int u^{5}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{6}}{18}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{18} \left(- 3 x + 2\right)^{6}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- 3 x + 2\right)^{5} = - 243 x^{5} + 810 x^{4} - 1080 x^{3} + 720 x^{2} - 240 x + 32$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 243 x^{5}\, dx = - 243 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{81 x^{6}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 810 x^{4}\, dx = 810 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $162 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 1080 x^{3}\, dx = - 1080 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 270 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 720 x^{2}\, dx = 720 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $240 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 240 x\, dx = - 240 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 120 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 32\, dx = 32 x$

      Результат есть: $- \frac{81 x^{6}}{2} + 162 x^{5} - 270 x^{4} + 240 x^{3} - 120 x^{2} + 32 x$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{18} \left(3 x - 2\right)^{6}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{18} \left(3 x - 2\right)^{6}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{18} \left(3 x - 2\right)^{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |           5         
 |  (2 - 3*x)  dx = 7/2
 |                     
/                      
0                      

$${{7}\over{2}}$$

Численный ответ

3.5

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              6
 |          5          (2 - 3*x) 
 | (2 - 3*x)  dx = C - ----------
 |                         18    
/                                

$$-{{81\,x^6}\over{2}}+162\,x^5-270\,x^4+240\,x^3-120\,x^2+32\,x$$