Интеграл (2-x)^9*dx (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |         9   
 |  (2 - x)  dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \left(- x + 2\right)^{9}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x + 2$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{9}\, du = - \int u^{9}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{10}}{10}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{10} \left(- x + 2\right)^{10}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- x + 2\right)^{9} = - x^{9} + 18 x^{8} - 144 x^{7} + 672 x^{6} - 2016 x^{5} + 4032 x^{4} - 5376 x^{3} + 4608 x^{2} - 2304 x + 512$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - x^{9}\, dx = - \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{10}}{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 18 x^{8}\, dx = 18 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $2 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 144 x^{7}\, dx = - 144 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- 18 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 672 x^{6}\, dx = 672 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $96 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 2016 x^{5}\, dx = - 2016 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- 336 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4032 x^{4}\, dx = 4032 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{4032 x^{5}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 5376 x^{3}\, dx = - 5376 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 1344 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4608 x^{2}\, dx = 4608 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $1536 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 2304 x\, dx = - 2304 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 1152 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 512\, dx = 512 x$

      Результат есть: $- \frac{x^{10}}{10} + 2 x^{9} - 18 x^{8} + 96 x^{7} - 336 x^{6} + \frac{4032 x^{5}}{5} - 1344 x^{4} + 1536 x^{3} - 1152 x^{2} + 512 x$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{10} \left(x - 2\right)^{10}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{10} \left(x - 2\right)^{10}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{10} \left(x - 2\right)^{10}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |         9      1023
 |  (2 - x)  dx = ----
 |                 10 
/                     
0                     

$${{1023}\over{10}}$$

Численный ответ

102.3

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                          10
 |        9          (2 - x)  
 | (2 - x)  dx = C - ---------
 |                       10   
/                             

$$-{{\left(2-x\right)^{10}}\over{10}}$$