Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл (2-x)^9*dx (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1            
  /            
 |             
 |         9   
 |  (2 - x)  dx
 |             
/              
0
    ∫01(−x+2)9 dx\int_{0}^{1} \left(- x + 2\right)^{9}\, dx
    Подробное решение

    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=−x+2u = - x + 2.

        Тогда пусть du=−dxdu = - dx и подставим −du- du:

        ∫u9 du\int u^{9}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫u9 du=−∫u9 du\int u^{9}\, du = - \int u^{9}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫u9 du=u1010\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}

          Таким образом, результат будет: −u1010- \frac{u^{10}}{10}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        −110(−x+2)10- \frac{1}{10} \left(- x + 2\right)^{10}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (−x+2)9=−x9+18x8−144x7+672x6−2016x5+4032x4−5376x3+4608x2−2304x+512\left(- x + 2\right)^{9} = - x^{9} + 18 x^{8} - 144 x^{7} + 672 x^{6} - 2016 x^{5} + 4032 x^{4} - 5376 x^{3} + 4608 x^{2} - 2304 x + 512

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−x9 dx=−∫x9 dx\int - x^{9}\, dx = - \int x^{9}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x9 dx=x1010\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}

          Таким образом, результат будет: −x1010- \frac{x^{10}}{10}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫18x8 dx=18∫x8 dx\int 18 x^{8}\, dx = 18 \int x^{8}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x8 dx=x99\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}

          Таким образом, результат будет: 2x92 x^{9}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−144x7 dx=−144∫x7 dx\int - 144 x^{7}\, dx = - 144 \int x^{7}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x7 dx=x88\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}

          Таким образом, результат будет: −18x8- 18 x^{8}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫672x6 dx=672∫x6 dx\int 672 x^{6}\, dx = 672 \int x^{6}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x6 dx=x77\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}

          Таким образом, результат будет: 96x796 x^{7}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−2016x5 dx=−2016∫x5 dx\int - 2016 x^{5}\, dx = - 2016 \int x^{5}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x5 dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

          Таким образом, результат будет: −336x6- 336 x^{6}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫4032x4 dx=4032∫x4 dx\int 4032 x^{4}\, dx = 4032 \int x^{4}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x4 dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

          Таким образом, результат будет: 4032x55\frac{4032 x^{5}}{5}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−5376x3 dx=−5376∫x3 dx\int - 5376 x^{3}\, dx = - 5376 \int x^{3}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: −1344x4- 1344 x^{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫4608x2 dx=4608∫x2 dx\int 4608 x^{2}\, dx = 4608 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 1536x31536 x^{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−2304x dx=−2304∫x dx\int - 2304 x\, dx = - 2304 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: −1152x2- 1152 x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          ∫512 dx=512x\int 512\, dx = 512 x

        Результат есть: −x1010+2x9−18x8+96x7−336x6+4032x55−1344x4+1536x3−1152x2+512x- \frac{x^{10}}{10} + 2 x^{9} - 18 x^{8} + 96 x^{7} - 336 x^{6} + \frac{4032 x^{5}}{5} - 1344 x^{4} + 1536 x^{3} - 1152 x^{2} + 512 x

    2. Теперь упростить:

      −110(x−2)10- \frac{1}{10} \left(x - 2\right)^{10}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      −110(x−2)10+constant- \frac{1}{10} \left(x - 2\right)^{10}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    −110(x−2)10+constant- \frac{1}{10} \left(x - 2\right)^{10}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-1000000000010000000000
    Ответ [src]
      1                   
  /                   
 |                    
 |         9      1023
 |  (2 - x)  dx = ----
 |                 10 
/                     
0
    102310{{1023}\over{10}}
    Численный ответ [src]
    102.3
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                           
 |                          10
 |        9          (2 - x)  
 | (2 - x)  dx = C - ---------
 |                       10   
/
    −(2−x)1010-{{\left(2-x\right)^{10}}\over{10}}
    Упростить