Интеграл 2*e^(2*t) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |     2*t   
 |  2*E    dt
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} 2 e^{2 t}\, dt$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 2 e^{2 t}\, dt = 2 \int e^{2 t}\, dt$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = 2 t$.

         Тогда пусть $du = 2 dt$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{2 t}}{2}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $e^{2 t} = e^{2 t}$

      2. пусть $u = 2 t$.

         Тогда пусть $du = 2 dt$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{2 t}}{2}$

   Таким образом, результат будет: $e^{2 t}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $e^{2 t}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$e^{2 t}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |     2*t            2
 |  2*E    dt = -1 + e 
 |                     
/                      
0                      

$$2\,\left({{E^2}\over{2\,\log E}}-{{1}\over{2\,\log E}}\right)$$

Численный ответ

6.38905609893065

Ответ (Неопределённый)

  /                    
 |                     
 |    2*t           2*t
 | 2*E    dt = C + e   
 |                     
/                      

$${{E^{2\,t}}\over{\log E}}$$