Интеграл 2*cos(x)^2 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |       2      
 |  2*cos (x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} 2 \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 2 \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = 2 \int \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $x + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                 
  /                                 
 |                                  
 |       2                          
 |  2*cos (x) dx = 1 + cos(1)*sin(1)
 |                                  
/                                   
0                                   

$${{\sin 2+2}\over{2}}$$

Численный ответ

1.45464871341284

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 |      2                 sin(2*x)
 | 2*cos (x) dx = C + x + --------
 |                           2    
/                                 

$${{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}+x$$