Интеграл 2*log(2*x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  2*log(2*x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} 2 \log{\left (2 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 2 \log{\left (2 x \right )}\, dx = 2 \int \log{\left (2 x \right )}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \log{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \log{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \log{\left (u \right )}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} \log{\left (u \right )} - \frac{u}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $x \log{\left (2 x \right )} - x$

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (2 x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

   Таким образом, результат будет: $2 x \log{\left (2 x \right )} - 2 x$

2. Теперь упростить:

   $2 x \left(\log{\left (2 x \right )} - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 x \left(\log{\left (2 x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$2 x \left(\log{\left (2 x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                              
  /                              
 |                               
 |  2*log(2*x) dx = -2 + 2*log(2)
 |                               
/                                
0                                

$$2\,\log 2-2$$

Численный ответ

-0.613705638880109

Ответ (Неопределённый)

  /                                      
 |                                       
 | 2*log(2*x) dx = C - 2*x + 2*x*log(2*x)
 |                                       
/                                        

$$2\,x\,\log \left(2\,x\right)-2\,x$$