Интеграл 2*sin(x)^(3) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |       3      
 |  2*sin (x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} 2 \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 2 \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$

   2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int \left(u^{2} - 1\right)\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \left(-1\right)\, du = - u$

            Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} - u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

      Метод #3

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - 2 \cos{\left(x \right)}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{6}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                    3   
4              2*cos (1)
- - 2*cos(1) + ---------
3                  3    

$$- 2 \cos{\left(1 \right)} + \frac{2 \cos^{3}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{4}{3}$$

=

=

                    3   
4              2*cos (1)
- - 2*cos(1) + ---------
3                  3    

$$- 2 \cos{\left(1 \right)} + \frac{2 \cos^{3}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{4}{3}$$

Численный ответ

0.357881125097716

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                                    3   
 |      3                        2*cos (x)
 | 2*sin (x) dx = C - 2*cos(x) + ---------
 |                                   3    
/                                         

$$\int 2 \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - 2 \cos{\left(x \right)}$$

График