Интеграл 2*sin(x)^(3) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
      /             
     |              
     |       3      
     |  2*sin (x) dx
     |              
    /               
    0               
    012sin3(x)dx\int\limits_{0}^{1} 2 \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      2sin3(x)dx=2sin3(x)dx\int 2 \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        sin3(x)=(1cos2(x))sin(x)\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}

      2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

        Метод #1

        1. пусть u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Тогда пусть du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx и подставим dudu:

          (u21)du\int \left(u^{2} - 1\right)\, du

          1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              (1)du=u\int \left(-1\right)\, du = - u

            Результат есть: u33u\frac{u^{3}}{3} - u

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          cos3(x)3cos(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

        Метод #2

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          (1cos2(x))sin(x)=sin(x)cos2(x)+sin(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            (sin(x)cos2(x))dx=sin(x)cos2(x)dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

            1. пусть u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Тогда пусть du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx и подставим du- du:

              u2du\int u^{2}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                (u2)du=u2du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                  u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Таким образом, результат будет: u33- \frac{u^{3}}{3}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              cos3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Таким образом, результат будет: cos3(x)3\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Результат есть: cos3(x)3cos(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

        Метод #3

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          (1cos2(x))sin(x)=sin(x)cos2(x)+sin(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            (sin(x)cos2(x))dx=sin(x)cos2(x)dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

            1. пусть u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Тогда пусть du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx и подставим du- du:

              u2du\int u^{2}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                (u2)du=u2du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                  u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Таким образом, результат будет: u33- \frac{u^{3}}{3}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              cos3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Таким образом, результат будет: cos3(x)3\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Результат есть: cos3(x)3cos(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

      Таким образом, результат будет: 2cos3(x)32cos(x)\frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - 2 \cos{\left(x \right)}

    2. Теперь упростить:

      3cos(x)2+cos(3x)6- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{6}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      3cos(x)2+cos(3x)6+constant- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    3cos(x)2+cos(3x)6+constant- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902.5-2.5
    Ответ [src]
                        3   
    4              2*cos (1)
    - - 2*cos(1) + ---------
    3                  3    
    2cos(1)+2cos3(1)3+43- 2 \cos{\left(1 \right)} + \frac{2 \cos^{3}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{4}{3}
    =
    =
                        3   
    4              2*cos (1)
    - - 2*cos(1) + ---------
    3                  3    
    2cos(1)+2cos3(1)3+43- 2 \cos{\left(1 \right)} + \frac{2 \cos^{3}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{4}{3}
    Численный ответ [src]
    0.357881125097716
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                       
     |                                    3   
     |      3                        2*cos (x)
     | 2*sin (x) dx = C - 2*cos(x) + ---------
     |                                   3    
    /                                         
    2sin3(x)dx=C+2cos3(x)32cos(x)\int 2 \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - 2 \cos{\left(x \right)}
    График
    Интеграл 2*sin(x)^(3) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/5/0e/cfe69b79da3f6e264b67779244a97.png