Интеграл 2*tan(x/2) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |       /x\   
 |  2*tan|-| dx
 |       \2/   
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} 2 \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 2 \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = 2 \int \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\tan{\left (\frac{x}{2} \right )} = \frac{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

   2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \frac{dx}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $- 2 du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- 2 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}} = \frac{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

      2. пусть $u = \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \frac{dx}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $- 2 du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- 2 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- 4 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- 4 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- 4 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- 4 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |       /x\            /       2     \
 |  2*tan|-| dx = -2*log\1 - sin (1/2)/
 |       \2/                           
 |                                     
/                                      
0                                      

$$-4\,\log \cos \left({{1}\over{2}}\right)$$

Численный ответ

0.522336961774891

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 |      /x\               /   /x\\
 | 2*tan|-| dx = C - 4*log|cos|-||
 |      \2/               \   \2//
 |                                
/                                 

$$4\,\log \sec \left({{x}\over{2}}\right)$$