Интеграл 2*x/e^x (dx)

Вы ввели

  1       
  /       
 |        
 |  2*x   
 |  --- dx
 |    x   
 |   E    
 |        
/         
0         

$$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{e^{x}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{2 x}{e^{x}} = 2 x e^{- x}$

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 2 x e^{- x}\, dx = 2 \int x e^{- x}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

         $\int u e^{u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- x e^{- x} - e^{- x}$

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{- x}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. пусть $u = - x$.

            Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- x}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - e^{- x}\, dx = - \int e^{- x}\, dx$

         1. пусть $u = - x$.

            Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- x}$

         Таким образом, результат будет: $e^{- x}$

   Таким образом, результат будет: $- 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}$

3. Теперь упростить:

   $- \left(2 x + 2\right) e^{- x}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \left(2 x + 2\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \left(2 x + 2\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |  2*x             -1
 |  --- dx = 2 - 4*e  
 |    x               
 |   E                
 |                    
/                     
0                     

$$2\,\left({{1}\over{\left(\log E\right)^2}}-{{\log E+1}\over{E\, \left(\log E\right)^2}}\right)$$

Численный ответ

0.528482235314231

Ответ (Неопределённый)

  /                            
 |                             
 | 2*x             -x        -x
 | --- dx = C - 2*e   - 2*x*e  
 |   x                         
 |  E                          
 |                             
/                              

$$-{{2\,\left(\log E\,x+1\right)\,e^ {- \log E\,x }}\over{\left(\log E\right)^2}}$$