Интеграл (2*x-7)^9 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           9   
 |  (2*x - 7)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(2 x - 7\right)^{9}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x - 7$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int u^{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{9}\, du = \frac{1}{2} \int u^{9}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{10}}{20}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{20} \left(2 x - 7\right)^{10}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(2 x - 7\right)^{9} = 512 x^{9} - 16128 x^{8} + 225792 x^{7} - 1843968 x^{6} + 9680832 x^{5} - 33882912 x^{4} + 79060128 x^{3} - 118590192 x^{2} + 103766418 x - 40353607$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 512 x^{9}\, dx = 512 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{256 x^{10}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 16128 x^{8}\, dx = - 16128 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $- 1792 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 225792 x^{7}\, dx = 225792 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $28224 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 1843968 x^{6}\, dx = - 1843968 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $- 263424 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 9680832 x^{5}\, dx = 9680832 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $1613472 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 33882912 x^{4}\, dx = - 33882912 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{33882912 x^{5}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 79060128 x^{3}\, dx = 79060128 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $19765032 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 118590192 x^{2}\, dx = - 118590192 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- 39530064 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 103766418 x\, dx = 103766418 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $51883209 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -40353607\, dx = - 40353607 x$

      Результат есть: $\frac{256 x^{10}}{5} - 1792 x^{9} + 28224 x^{8} - 263424 x^{7} + 1613472 x^{6} - \frac{33882912 x^{5}}{5} + 19765032 x^{4} - 39530064 x^{3} + 51883209 x^{2} - 40353607 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{20} \left(2 x - 7\right)^{10}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{20} \left(2 x - 7\right)^{10}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{20} \left(2 x - 7\right)^{10}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                            
  /                            
 |                             
 |           9                 
 |  (2*x - 7)  dx = -68177406/5
 |                             
/                              
0                              

$$-{{68177406}\over{5}}$$

Численный ответ

-13635481.2