Интеграл (2*x-3)^7 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |           7   
     |  (2*x - 3)  dx
     |               
    /                
    0                
    01(2x3)7dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 x - 3\right)^{7}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=2x3u = 2 x - 3.

        Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

        u74du\int \frac{u^{7}}{4}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          u72du=u7du2\int \frac{u^{7}}{2}\, du = \frac{\int u^{7}\, du}{2}

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            u7du=u88\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}

          Таким образом, результат будет: u816\frac{u^{8}}{16}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        (2x3)816\frac{\left(2 x - 3\right)^{8}}{16}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (2x3)7=128x71344x6+6048x515120x4+22680x320412x2+10206x2187\left(2 x - 3\right)^{7} = 128 x^{7} - 1344 x^{6} + 6048 x^{5} - 15120 x^{4} + 22680 x^{3} - 20412 x^{2} + 10206 x - 2187

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          128x7dx=128x7dx\int 128 x^{7}\, dx = 128 \int x^{7}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x7dx=x88\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}

          Таким образом, результат будет: 16x816 x^{8}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (1344x6)dx=1344x6dx\int \left(- 1344 x^{6}\right)\, dx = - 1344 \int x^{6}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x6dx=x77\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}

          Таким образом, результат будет: 192x7- 192 x^{7}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          6048x5dx=6048x5dx\int 6048 x^{5}\, dx = 6048 \int x^{5}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x5dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

          Таким образом, результат будет: 1008x61008 x^{6}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (15120x4)dx=15120x4dx\int \left(- 15120 x^{4}\right)\, dx = - 15120 \int x^{4}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x4dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

          Таким образом, результат будет: 3024x5- 3024 x^{5}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          22680x3dx=22680x3dx\int 22680 x^{3}\, dx = 22680 \int x^{3}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: 5670x45670 x^{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (20412x2)dx=20412x2dx\int \left(- 20412 x^{2}\right)\, dx = - 20412 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 6804x3- 6804 x^{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          10206xdx=10206xdx\int 10206 x\, dx = 10206 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 5103x25103 x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          (2187)dx=2187x\int \left(-2187\right)\, dx = - 2187 x

        Результат есть: 16x8192x7+1008x63024x5+5670x46804x3+5103x22187x16 x^{8} - 192 x^{7} + 1008 x^{6} - 3024 x^{5} + 5670 x^{4} - 6804 x^{3} + 5103 x^{2} - 2187 x

    2. Теперь упростить:

      (2x3)816\frac{\left(2 x - 3\right)^{8}}{16}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      (2x3)816+constant\frac{\left(2 x - 3\right)^{8}}{16}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    (2x3)816+constant\frac{\left(2 x - 3\right)^{8}}{16}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-40002000
    Ответ [src]
    -410
    410-410
    =
    =
    -410
    410-410
    Численный ответ [src]
    -410.0
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                              
     |                              8
     |          7          (2*x - 3) 
     | (2*x - 3)  dx = C + ----------
     |                         16    
    /                                
    (2x3)7dx=C+(2x3)816\int \left(2 x - 3\right)^{7}\, dx = C + \frac{\left(2 x - 3\right)^{8}}{16}
    График
    Интеграл (2*x-3)^7 (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/4/60/41243c5bf40a83bda836aed2a45db.png