∫ Найти интеграл от y = f(x) = (2*x+1)^10 dx ((2 умножить на х плюс 1) в степени 10) - с подробным решением онлайн [Есть ответ!]

Интеграл (2*x+1)^10 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1               
      /               
     |                
     |           10   
     |  (2*x + 1)   dx
     |                
    /                 
    0                 
    01(2x+1)10dx\int_{0}^{1} \left(2 x + 1\right)^{10}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=2x+1u = 2 x + 1.

        Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

        u10du\int u^{10}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          u10du=12u10du\int u^{10}\, du = \frac{1}{2} \int u^{10}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            u10du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

          Таким образом, результат будет: u1122\frac{u^{11}}{22}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        122(2x+1)11\frac{1}{22} \left(2 x + 1\right)^{11}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (2x+1)10=1024x10+5120x9+11520x8+15360x7+13440x6+8064x5+3360x4+960x3+180x2+20x+1\left(2 x + 1\right)^{10} = 1024 x^{10} + 5120 x^{9} + 11520 x^{8} + 15360 x^{7} + 13440 x^{6} + 8064 x^{5} + 3360 x^{4} + 960 x^{3} + 180 x^{2} + 20 x + 1

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1024x10dx=1024x10dx\int 1024 x^{10}\, dx = 1024 \int x^{10}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x10dx=x1111\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}

          Таким образом, результат будет: 1024x1111\frac{1024 x^{11}}{11}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          5120x9dx=5120x9dx\int 5120 x^{9}\, dx = 5120 \int x^{9}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x9dx=x1010\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}

          Таким образом, результат будет: 512x10512 x^{10}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          11520x8dx=11520x8dx\int 11520 x^{8}\, dx = 11520 \int x^{8}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x8dx=x99\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}

          Таким образом, результат будет: 1280x91280 x^{9}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          15360x7dx=15360x7dx\int 15360 x^{7}\, dx = 15360 \int x^{7}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x7dx=x88\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}

          Таким образом, результат будет: 1920x81920 x^{8}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          13440x6dx=13440x6dx\int 13440 x^{6}\, dx = 13440 \int x^{6}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x6dx=x77\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}

          Таким образом, результат будет: 1920x71920 x^{7}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          8064x5dx=8064x5dx\int 8064 x^{5}\, dx = 8064 \int x^{5}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x5dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

          Таким образом, результат будет: 1344x61344 x^{6}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3360x4dx=3360x4dx\int 3360 x^{4}\, dx = 3360 \int x^{4}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x4dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

          Таким образом, результат будет: 672x5672 x^{5}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          960x3dx=960x3dx\int 960 x^{3}\, dx = 960 \int x^{3}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: 240x4240 x^{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          180x2dx=180x2dx\int 180 x^{2}\, dx = 180 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 60x360 x^{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          20xdx=20xdx\int 20 x\, dx = 20 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 10x210 x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Результат есть: 1024x1111+512x10+1280x9+1920x8+1920x7+1344x6+672x5+240x4+60x3+10x2+x\frac{1024 x^{11}}{11} + 512 x^{10} + 1280 x^{9} + 1920 x^{8} + 1920 x^{7} + 1344 x^{6} + 672 x^{5} + 240 x^{4} + 60 x^{3} + 10 x^{2} + x

    2. Теперь упростить:

      122(2x+1)11\frac{1}{22} \left(2 x + 1\right)^{11}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      122(2x+1)11+constant\frac{1}{22} \left(2 x + 1\right)^{11}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    122(2x+1)11+constant\frac{1}{22} \left(2 x + 1\right)^{11}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2500000000000025000000000000
    Ответ [src]
      1                       
      /                       
     |                        
     |           10      88573
     |  (2*x + 1)   dx = -----
     |                     11 
    /                         
    0                         
    8857311{{88573}\over{11}}
    Численный ответ [src]
    8052.09090909091
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                
     |                               11
     |          10          (2*x + 1)  
     | (2*x + 1)   dx = C + -----------
     |                           22    
    /                                  
    (2x+1)1122{{\left(2\,x+1\right)^{11}}\over{22}}