Интеграл (2*x+1)^3 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |           3   
     |  (2*x + 1)  dx
     |               
    /                
    0                
    01(2x+1)3dx\int_{0}^{1} \left(2 x + 1\right)^{3}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=2x+1u = 2 x + 1.

        Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

        u3du\int u^{3}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          u3du=12u3du\int u^{3}\, du = \frac{1}{2} \int u^{3}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            u3du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: u48\frac{u^{4}}{8}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        18(2x+1)4\frac{1}{8} \left(2 x + 1\right)^{4}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (2x+1)3=8x3+12x2+6x+1\left(2 x + 1\right)^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          8x3dx=8x3dx\int 8 x^{3}\, dx = 8 \int x^{3}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: 2x42 x^{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          12x2dx=12x2dx\int 12 x^{2}\, dx = 12 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 4x34 x^{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          6xdx=6xdx\int 6 x\, dx = 6 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 3x23 x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Результат есть: 2x4+4x3+3x2+x2 x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} + x

    2. Теперь упростить:

      18(2x+1)4\frac{1}{8} \left(2 x + 1\right)^{4}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      18(2x+1)4+constant\frac{1}{8} \left(2 x + 1\right)^{4}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    18(2x+1)4+constant\frac{1}{8} \left(2 x + 1\right)^{4}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-5000050000
    Ответ [src]
      1                   
      /                   
     |                    
     |           3        
     |  (2*x + 1)  dx = 10
     |                    
    /                     
    0                     
    1010
    Численный ответ [src]
    10.0
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                              
     |                              4
     |          3          (2*x + 1) 
     | (2*x + 1)  dx = C + ----------
     |                         8     
    /                                
    2x4+4x3+3x2+x2\,x^4+4\,x^3+3\,x^2+x