Интеграл (2*x+5)^5 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           5   
 |  (2*x + 5)  dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \left(2 x + 5\right)^{5}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x + 5$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{5}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{5}}{2}\, du = \frac{\int u^{5}\, du}{2}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{6}}{12}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(2 x + 5\right)^{6}}{12}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(2 x + 5\right)^{5} = 32 x^{5} + 400 x^{4} + 2000 x^{3} + 5000 x^{2} + 6250 x + 3125$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 32 x^{5}\, dx = 32 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{16 x^{6}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 400 x^{4}\, dx = 400 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $80 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2000 x^{3}\, dx = 2000 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $500 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5000 x^{2}\, dx = 5000 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{5000 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6250 x\, dx = 6250 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $3125 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 3125\, dx = 3125 x$

      Результат есть: $\frac{16 x^{6}}{3} + 80 x^{5} + 500 x^{4} + \frac{5000 x^{3}}{3} + 3125 x^{2} + 3125 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(2 x + 5\right)^{6}}{12}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(2 x + 5\right)^{6}}{12}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(2 x + 5\right)^{6}}{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ

8502

$$8502$$

=

=

8502

$$8502$$

Численный ответ

8502.0

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              6
 |          5          (2*x + 5) 
 | (2*x + 5)  dx = C + ----------
 |                         12    
/                                

$$\int \left(2 x + 5\right)^{5}\, dx = C + \frac{\left(2 x + 5\right)^{6}}{12}$$

График