Интеграл (2*x+3)^6 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           6   
 |  (2*x + 3)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(2 x + 3\right)^{6}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x + 3$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int u^{6}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{6}\, du = \frac{1}{2} \int u^{6}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{7}}{14}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{14} \left(2 x + 3\right)^{7}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(2 x + 3\right)^{6} = 64 x^{6} + 576 x^{5} + 2160 x^{4} + 4320 x^{3} + 4860 x^{2} + 2916 x + 729$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 64 x^{6}\, dx = 64 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{64 x^{7}}{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 576 x^{5}\, dx = 576 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $96 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2160 x^{4}\, dx = 2160 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $432 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4320 x^{3}\, dx = 4320 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $1080 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4860 x^{2}\, dx = 4860 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $1620 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2916 x\, dx = 2916 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $1458 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 729\, dx = 729 x$

      Результат есть: $\frac{64 x^{7}}{7} + 96 x^{6} + 432 x^{5} + 1080 x^{4} + 1620 x^{3} + 1458 x^{2} + 729 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{14} \left(2 x + 3\right)^{7}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{14} \left(2 x + 3\right)^{7}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{14} \left(2 x + 3\right)^{7}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |           6             
 |  (2*x + 3)  dx = 37969/7
 |                         
/                          
0                          

$${{37969}\over{7}}$$

Численный ответ

5424.14285714286

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              7
 |          6          (2*x + 3) 
 | (2*x + 3)  dx = C + ----------
 |                         14    
/                                

$${{\left(2\,x+3\right)^7}\over{14}}$$