Интеграл 2*x*atan(x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  2*x*atan(x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} 2 x \operatorname{atan}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 2 x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x^{2} + 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $x^{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

      1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (x \right )}$.

      Таким образом, результат будет: $- \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

   Результат есть: $x - \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x^{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )} - x + \operatorname{atan}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x^{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )} - x + \operatorname{atan}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                        pi
 |  2*x*atan(x) dx = -1 + --
 |                        2 
/                           
0                           

$${{\pi-2}\over{2}}$$

Численный ответ

0.570796326794897

Ответ (Неопределённый)

  /                                             
 |                           2                  
 | 2*x*atan(x) dx = C - x + x *atan(x) + atan(x)
 |                                              
/                                               

$$2\,\left({{x^2\,\arctan x}\over{2}}-{{x-\arctan x}\over{2}}\right)$$