Интеграл 2^(1-4*x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   1 - 4*x   
 |  2        dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} 2^{- 4 x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - 4 x + 1$.

      Тогда пусть $du = - 4 dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$:

      $\int 2^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2^{u}\, du = - \frac{1}{4} \int 2^{u}\, du$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left (2 \right )}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{2^{u}}{4 \log{\left (2 \right )}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{2^{- 4 x + 1}}{4 \log{\left (2 \right )}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $2^{- 4 x + 1} = 2 \cdot 2^{- 4 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \cdot 2^{- 4 x}\, dx = 2 \int 2^{- 4 x}\, dx$

      1. пусть $u = - 4 x$.

         Тогда пусть $du = - 4 dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$:

         $\int 2^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2^{u}\, du = - \frac{1}{4} \int 2^{u}\, du$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left (2 \right )}}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{2^{u}}{4 \log{\left (2 \right )}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{2^{- 4 x}}{4 \log{\left (2 \right )}}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{2^{- 4 x}}{2 \log{\left (2 \right )}}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{2^{- 4 x - 1}}{\log{\left (2 \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{2^{- 4 x - 1}}{\log{\left (2 \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{2^{- 4 x - 1}}{\log{\left (2 \right )}}+ \mathrm{constant}$

Численный ответ

0.676263300416702

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    1 - 4*x
 |  1 - 4*x          2       
 | 2        dx = C - --------
 |                   4*log(2)
/                            

$$-{{2^{-4\,x-1}}\over{\log 2}}$$