Интеграл 2^(3*x+1) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   3*x + 1   
 |  2        dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} 2^{3 x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int 2^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2^{u}\, du = \frac{1}{3} \int 2^{u}\, du$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left (2 \right )}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2^{u}}{3 \log{\left (2 \right )}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{2^{3 x + 1}}{3 \log{\left (2 \right )}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $2^{3 x + 1} = 2 \cdot 2^{3 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \cdot 2^{3 x}\, dx = 2 \int 2^{3 x}\, dx$

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int 2^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2^{u}\, du = \frac{1}{3} \int 2^{u}\, du$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left (2 \right )}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{2^{u}}{3 \log{\left (2 \right )}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{2^{3 x}}{3 \log{\left (2 \right )}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cdot 2^{3 x}}{3 \log{\left (2 \right )}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{2 \cdot 8^{x}}{3 \log{\left (2 \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2 \cdot 8^{x}}{3 \log{\left (2 \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{2 \cdot 8^{x}}{3 \log{\left (2 \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |   3*x + 1         14   
 |  2        dx = --------
 |                3*log(2)
/                         
0                         

$${{14}\over{3\,\log 2}}$$

Численный ответ

6.73257685748183

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    3*x + 1
 |  3*x + 1          2       
 | 2        dx = C + --------
 |                   3*log(2)
/                            

$${{2^{3\,x+1}}\over{3\,\log 2}}$$