Интеграл (2^x)^2 (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |      2   
 |  / x\    
 |  \2 /  dx
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \left(2^{x}\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2^{x}$.

      Тогда пусть $du = 2^{x} \log{\left (2 \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{\log{\left (2 \right )}}$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u\, du = \frac{\int u\, du}{\log{\left (2 \right )}}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{2 \log{\left (2 \right )}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{2^{2 x}}{2 \log{\left (2 \right )}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(2^{x}\right)^{2} = 2^{2 x}$

   2. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int 2^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2^{u}\, du = \frac{1}{2} \int 2^{u}\, du$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left (2 \right )}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2^{u}}{2 \log{\left (2 \right )}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{2^{2 x}}{2 \log{\left (2 \right )}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{2^{2 x - 1}}{\log{\left (2 \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2^{2 x - 1}}{\log{\left (2 \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{2^{2 x - 1}}{\log{\left (2 \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |      2              
 |  / x\          3    
 |  \2 /  dx = --------
 |             2*log(2)
/                      
0                      

$${{3}\over{2\,\log 2}}$$

Численный ответ

2.16404256133345

Ответ (Неопределённый)

  /                       
 |                        
 |     2             2*x  
 | / x\             2     
 | \2 /  dx = C + --------
 |                2*log(2)
/                         

$${{2^{2\,x-1}}\over{\log 2}}$$