Интеграл 12*cot(3*x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  12*cot(3*x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} 12 \cot{\left (3 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 12 \cot{\left (3 x \right )}\, dx = 12 \int \cot{\left (3 x \right )}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cot{\left (3 x \right )} = \frac{\cos{\left (3 x \right )}}{\sin{\left (3 x \right )}}$

   2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \sin{\left (3 x \right )}$.

         Тогда пусть $du = 3 \cos{\left (3 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \log{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )}$

      Метод #2

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\cos{\left (u \right )}}{\sin{\left (u \right )}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left (u \right )}}{\sin{\left (u \right )}}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{\cos{\left (u \right )}}{\sin{\left (u \right )}}\, du$

            1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (\sin{\left (u \right )} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (\sin{\left (u \right )} \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \log{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )}$

   Таким образом, результат будет: $4 \log{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $4 \log{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$4 \log{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                             
  /                             
 |                              
 |  12*cot(3*x) dx = oo + 2*pi*I
 |                              
/                               
0                               

$${\it \%a}$$

Численный ответ

164.134756862859

Ответ (Неопределённый)

  /                                    
 |                                     
 | 12*cot(3*x) dx = C + 4*log(sin(3*x))
 |                                     
/                                      

$$4\,\log \sin \left(3\,x\right)$$