Интеграл exp(-x)*sin(x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |   -x          
 |  e  *sin(x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} e^{- x} \sin{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

         1. Для подинтегрального выражения $e^{u} \sin{\left (u \right )}$:

            пусть $u{\left (u \right )} = \sin{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$.

            Затем $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - \int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du$.

         2. Для подинтегрального выражения $e^{u} \cos{\left (u \right )}$:

            пусть $u{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$.

            Затем $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )} + \int - e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du$.

         3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

            $2 \int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )}$

            Поэтому,

            $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} - \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{e^{- x}}{2} \sin{\left (x \right )} - \frac{e^{- x}}{2} \cos{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{- x}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - e^{- x} \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int e^{- x} \cos{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du = - \int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = - \int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du$

               1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

                  1. Для подинтегрального выражения $e^{u} \sin{\left (u \right )}$:

                     пусть $u{\left (u \right )} = \sin{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$.

                     Затем $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - \int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du$.

                  2. Для подинтегрального выражения $e^{u} \cos{\left (u \right )}$:

                     пусть $u{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$.

                     Затем $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )} + \int - e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du$.

                  3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

                     $2 \int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )}$

                     Поэтому,

                     $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} - \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} + \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} - \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{- x}}{2} \sin{\left (x \right )} - \frac{e^{- x}}{2} \cos{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{- x}}{2} \sin{\left (x \right )} + \frac{e^{- x}}{2} \cos{\left (x \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- x} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- x} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- x} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                            
  /                                            
 |                              -1    -1       
 |   -x             1   cos(1)*e     e  *sin(1)
 |  e  *sin(x) dx = - - ---------- - ----------
 |                  2       2            2     
/                                              
0                                              

$${{1}\over{2}}-{{e^ {- 1 }\,\left(\sin 1+\cos 1\right)}\over{2}}$$

Численный ответ

0.245837007000237

Ответ (Неопределённый)

  /                                           
 |                             -x    -x       
 |  -x                 cos(x)*e     e  *sin(x)
 | e  *sin(x) dx = C - ---------- - ----------
 |                         2            2     
/                                             

$${{e^ {- x }\,\left(-\sin x-\cos x\right)}\over{2}}$$