Интеграл exp(x)*sin(x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
      /             
     |              
     |   x          
     |  e *sin(x) dx
     |              
    /               
    0               
    01exsin(x)dx\int\limits_{0}^{1} e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

      1. Для подинтегрального выражения exsin(x)e^{x} \sin{\left(x \right)}:

        пусть u(x)=sin(x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} и пусть dv(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

        Затем exsin(x)dx=exsin(x)excos(x)dx\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx.

      2. Для подинтегрального выражения excos(x)e^{x} \cos{\left(x \right)}:

        пусть u(x)=cos(x)u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} и пусть dv(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

        Затем exsin(x)dx=exsin(x)excos(x)+(exsin(x))dx\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx.

      3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

        2exsin(x)dx=exsin(x)excos(x)2 \int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)}

        Поэтому,

        exsin(x)dx=exsin(x)2excos(x)2\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}

    2. Теперь упростить:

      2excos(x+π4)2- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      2excos(x+π4)2+constant- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    2excos(x+π4)2+constant- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
    Ответ [src]
    1   e*sin(1)   e*cos(1)
    - + -------- - --------
    2      2          2    
    ecos(1)2+12+esin(1)2- \frac{e \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{e \sin{\left(1 \right)}}{2}
    =
    =
    1   e*sin(1)   e*cos(1)
    - + -------- - --------
    2      2          2    
    ecos(1)2+12+esin(1)2- \frac{e \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{e \sin{\left(1 \right)}}{2}
    Численный ответ [src]
    0.909330673631479
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                        
     |                     x                  x
     |  x                 e *sin(x)   cos(x)*e 
     | e *sin(x) dx = C + --------- - ---------
     |                        2           2    
    /                                          
    exsin(x)dx=C+exsin(x)2excos(x)2\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}
    График
    Интеграл exp(x)*sin(x) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/a/f1/8146a82ea74f4a076aa7218b2f101.png