Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.
Для подинтегрального выражения exsin(x):
пусть u(x)=sin(x) и пусть dv(x)=ex.
Затем ∫exsin(x)dx=exsin(x)−∫excos(x)dx.
Для подинтегрального выражения excos(x):
пусть u(x)=cos(x) и пусть dv(x)=ex.
Затем ∫exsin(x)dx=exsin(x)−excos(x)+∫(−exsin(x))dx.
Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:
2∫exsin(x)dx=exsin(x)−excos(x)
Поэтому,
∫exsin(x)dx=2exsin(x)−2excos(x)