Интеграл e^(2*x)-1 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  / 2*x    \   
 |  \E    - 1/ dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} e^{2 x} - 1\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{2 x}}{2}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $e^{2 x} = e^{2 x}$

      2. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{2 x}}{2}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int -1\, dx = - x$

   Результат есть: $- x + \frac{e^{2 x}}{2}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x + \frac{e^{2 x}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x + \frac{e^{2 x}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                         2
 |  / 2*x    \        3   e 
 |  \E    - 1/ dx = - - + --
 |                    2   2 
/                           
0                           

$$-{{2\,\log E-E^2+1}\over{2\,\log E}}$$

Численный ответ

2.19452804946533

Ответ (Неопределённый)

  /                            
 |                      2*x    
 | / 2*x    \          e       
 | \E    - 1/ dx = C + ---- - x
 |                      2      
/                              

$${{E^{2\,x}}\over{2\,\log E}}-x$$