Интеграл e^sqrt(x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |     ___   
 |   \/ x    
 |  E      dx
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt{x}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $2 du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u e^{u}\, du = 2 \int u e^{u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $2 u e^{u} - 2 e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - 2 e^{\sqrt{x}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x}}$

   2. пусть $u = \sqrt{x}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $2 du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u e^{u}\, du = 2 \int u e^{u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $2 u e^{u} - 2 e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - 2 e^{\sqrt{x}}$

2. Теперь упростить:

   $2 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$2 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1              
  /              
 |               
 |     ___       
 |   \/ x        
 |  E      dx = 2
 |               
/                
0                

$${{2\,E\,\log E-2\,E}\over{\left(\log E\right)^2}}+{{2}\over{\left( \log E\right)^2}}$$

Численный ответ

2.0

Ответ (Неопределённый)

  /                                         
 |                                          
 |    ___               ___              ___
 |  \/ x              \/ x        ___  \/ x 
 | E      dx = C - 2*e      + 2*\/ x *e     
 |                                          
/                                           

$${{2\,\left(\log E\,\sqrt{x}-1\right)\,e^{\log E\,\sqrt{x}}}\over{ \left(\log E\right)^2}}$$