Интеграл e^(-sqrt(x)) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |      ___   
 |   -\/ x    
 |  E       dx
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} e^{- \sqrt{x}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - \sqrt{x}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $2 du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u e^{u}\, du = 2 \int u e^{u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $2 u e^{u} - 2 e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- 2 \sqrt{x} e^{- \sqrt{x}} - 2 e^{- \sqrt{x}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{- \sqrt{x}} = e^{- \sqrt{x}}$

   2. пусть $u = - \sqrt{x}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $2 du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u e^{u}\, du = 2 \int u e^{u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $2 u e^{u} - 2 e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- 2 \sqrt{x} e^{- \sqrt{x}} - 2 e^{- \sqrt{x}}$

2. Теперь упростить:

   $- \left(2 \sqrt{x} + 2\right) e^{- \sqrt{x}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \left(2 \sqrt{x} + 2\right) e^{- \sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \left(2 \sqrt{x} + 2\right) e^{- \sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |      ___               
 |   -\/ x              -1
 |  E       dx = 2 - 4*e  
 |                        
/                         
0                         

$${{2}\over{\left(\log E\right)^2}}-{{2\,\log E+2}\over{E\,\left( \log E\right)^2}}$$

Численный ответ

0.528482235314231

Ответ (Неопределённый)

  /                                            
 |                                             
 |     ___                ___               ___
 |  -\/ x              -\/ x        ___  -\/ x 
 | E       dx = C - 2*e       - 2*\/ x *e      
 |                                             
/                                              

$$-{{2\,\left(\log E\,\sqrt{x}+1\right)\,e^ {- \log E\,\sqrt{x} } }\over{\left(\log E\right)^2}}$$