Интеграл e^(-x)*cos(x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |   -x          
 |  E  *cos(x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} e^{- x} \cos{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du = - \int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = - \int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

               1. Для подинтегрального выражения $e^{u} \sin{\left (u \right )}$:

                  пусть $u{\left (u \right )} = \sin{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$.

                  Затем $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - \int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du$.

               2. Для подинтегрального выражения $e^{u} \cos{\left (u \right )}$:

                  пусть $u{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$.

                  Затем $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )} + \int - e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du$.

               3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

                  $2 \int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )}$

                  Поэтому,

                  $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} - \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} + \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} - \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{- x}}{2} \sin{\left (x \right )} - \frac{e^{- x}}{2} \cos{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{- x} \cos{\left (x \right )} = e^{- x} \cos{\left (x \right )}$

   2. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du = - \int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = - \int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

               1. Для подинтегрального выражения $e^{u} \sin{\left (u \right )}$:

                  пусть $u{\left (u \right )} = \sin{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$.

                  Затем $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - \int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du$.

               2. Для подинтегрального выражения $e^{u} \cos{\left (u \right )}$:

                  пусть $u{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$.

                  Затем $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )} + \int - e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du$.

               3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

                  $2 \int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )}$

                  Поэтому,

                  $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} - \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} + \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} - \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{- x}}{2} \sin{\left (x \right )} - \frac{e^{- x}}{2} \cos{\left (x \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- x} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- x} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- x} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                            
  /                                            
 |                       -1                  -1
 |   -x             1   e  *sin(1)   cos(1)*e  
 |  E  *cos(x) dx = - + ---------- - ----------
 |                  2       2            2     
/                                              
0                                              

$${{\log E}\over{\left(\log E\right)^2+1}}-{{\cos 1\,\log E-\sin 1 }\over{E\,\left(\log E\right)^2+E}}$$

Численный ответ

0.55539688265335

Ответ (Неопределённый)

  /                                           
 |                      -x                  -x
 |  -x                 e  *sin(x)   cos(x)*e  
 | E  *cos(x) dx = C + ---------- - ----------
 |                         2            2     
/                                             

$${{e^ {- \log E\,x }\,\left(\sin x-\log E\,\cos x\right)}\over{ \left(\log E\right)^2+1}}$$