Интеграл (e^(-x))*sin(x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |   -x          
 |  E  *sin(x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} e^{- x} \sin{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

         1. Для подинтегрального выражения $e^{u} \sin{\left (u \right )}$:

            пусть $u{\left (u \right )} = \sin{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$.

            Затем $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - \int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du$.

         2. Для подинтегрального выражения $e^{u} \cos{\left (u \right )}$:

            пусть $u{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$.

            Затем $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )} + \int - e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du$.

         3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

            $2 \int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )}$

            Поэтому,

            $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} - \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{e^{- x}}{2} \sin{\left (x \right )} - \frac{e^{- x}}{2} \cos{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{- x} \sin{\left (x \right )} = e^{- x} \sin{\left (x \right )}$

   2. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

         1. Для подинтегрального выражения $e^{u} \sin{\left (u \right )}$:

            пусть $u{\left (u \right )} = \sin{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$.

            Затем $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - \int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du$.

         2. Для подинтегрального выражения $e^{u} \cos{\left (u \right )}$:

            пусть $u{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$.

            Затем $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )} + \int - e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du$.

         3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

            $2 \int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )}$

            Поэтому,

            $\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} - \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{e^{- x}}{2} \sin{\left (x \right )} - \frac{e^{- x}}{2} \cos{\left (x \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- x} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- x} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- x} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                            
  /                                            
 |                              -1    -1       
 |   -x             1   cos(1)*e     e  *sin(1)
 |  E  *sin(x) dx = - - ---------- - ----------
 |                  2       2            2     
/                                              
0                                              

$${{1}\over{\left(\log E\right)^2+1}}-{{\sin 1\,\log E+\cos 1}\over{E \,\left(\log E\right)^2+E}}$$

Численный ответ

0.245837007000237

Ответ (Неопределённый)

  /                                           
 |                             -x    -x       
 |  -x                 cos(x)*e     e  *sin(x)
 | E  *sin(x) dx = C - ---------- - ----------
 |                         2            2     
/                                             

$$-{{e^ {- \log E\,x }\,\left(\log E\,\sin x+\cos x\right)}\over{ \left(\log E\right)^2+1}}$$