Интеграл e^(1-4*x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   1 - 4*x   
 |  E        dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} e^{- 4 x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - 4 x + 1$.

      Тогда пусть $du = - 4 dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = - \frac{1}{4} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{4} e^{- 4 x + 1}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{- 4 x + 1} = e e^{- 4 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e e^{- 4 x}\, dx = e \int e^{- 4 x}\, dx$

      1. пусть $u = - 4 x$.

         Тогда пусть $du = - 4 dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = - \frac{1}{4} \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{4} e^{- 4 x}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{e}{4} e^{- 4 x}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{4} e^{- 4 x + 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{4} e^{- 4 x + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{4} e^{- 4 x + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                   -3    
 |   1 - 4*x        e     E
 |  E        dx = - --- + -
 |                   4    4
/                          
0                          

$${{E}\over{4\,\log E}}-{{1}\over{4\,E^3\,\log E}}$$

Численный ответ

0.667123690022795

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    1 - 4*x
 |  1 - 4*x          e       
 | E        dx = C - --------
 |                      4    
/                            

$$-{{E^{1-4\,x}}\over{4\,\log E}}$$