Интеграл e^(5*x+1) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   5*x + 1   
 |  E        dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} e^{5 x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = \frac{1}{5} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{5}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{5} e^{5 x + 1}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{5 x + 1} = e e^{5 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e e^{5 x}\, dx = e \int e^{5 x}\, dx$

      1. пусть $u = 5 x$.

         Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = \frac{1}{5} \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{5 x}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e}{5} e^{5 x}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{5} e^{5 x + 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{5} e^{5 x + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{5} e^{5 x + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                       6
 |   5*x + 1        E   e 
 |  E        dx = - - + --
 |                  5   5 
/                         
0                         

$${{E^6}\over{5\,\log E}}-{{E}\over{5\,\log E}}$$

Численный ответ

80.1421023328552

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    5*x + 1
 |  5*x + 1          e       
 | E        dx = C + --------
 |                      5    
/                            

$${{E^{5\,x+1}}\over{5\,\log E}}$$