Интеграл e^(6*x+3) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   6*x + 3   
 |  E        dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} e^{6 x + 3}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 6 x + 3$.

      Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = \frac{1}{6} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{6}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{6} e^{6 x + 3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{6 x + 3} = e^{3} e^{6 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e^{3} e^{6 x}\, dx = e^{3} \int e^{6 x}\, dx$

      1. пусть $u = 6 x$.

         Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = \frac{1}{6} \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{6}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{6 x}}{6}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{3}}{6} e^{6 x}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{6} e^{6 x + 3}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{6} e^{6 x + 3}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{6} e^{6 x + 3}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    6*x + 3
 |  6*x + 3          e       
 | E        dx = C + --------
 |                      6    
/                            

$${{E^{6\,x+3}}\over{6\,\log E}}$$