Интеграл e^t*cos(t) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |   t          
 |  E *cos(t) dt
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} e^{t} \cos{\left (t \right )}\, dt$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $e^{t} \cos{\left (t \right )} = e^{t} \cos{\left (t \right )}$

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (t \right )} = e^{t}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (t \right )} = - \sin{\left (t \right )}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (t \right )}$:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{t}\, dt = e^{t}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - e^{t} \sin{\left (t \right )}\, dt = - \int e^{t} \sin{\left (t \right )}\, dt$

   1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

      1. Для подинтегрального выражения $e^{t} \sin{\left (t \right )}$:

         пусть $u{\left (t \right )} = \sin{\left (t \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (t \right )} = e^{t}$.

         Затем $\int e^{t} \sin{\left (t \right )}\, dt = e^{t} \sin{\left (t \right )} - \int e^{t} \cos{\left (t \right )}\, dt$.

      2. Для подинтегрального выражения $e^{t} \cos{\left (t \right )}$:

         пусть $u{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (t \right )} = e^{t}$.

         Затем $\int e^{t} \sin{\left (t \right )}\, dt = e^{t} \sin{\left (t \right )} - e^{t} \cos{\left (t \right )} + \int - e^{t} \sin{\left (t \right )}\, dt$.

      3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

         $2 \int e^{t} \sin{\left (t \right )}\, dt = e^{t} \sin{\left (t \right )} - e^{t} \cos{\left (t \right )}$

         Поэтому,

         $\int e^{t} \sin{\left (t \right )}\, dt = \frac{e^{t}}{2} \sin{\left (t \right )} - \frac{e^{t}}{2} \cos{\left (t \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{t}}{2} \sin{\left (t \right )} + \frac{e^{t}}{2} \cos{\left (t \right )}$

4. Теперь упростить:

   $\frac{\sqrt{2} e^{t}}{2} \sin{\left (t + \frac{\pi}{4} \right )}$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\sqrt{2} e^{t}}{2} \sin{\left (t + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\sqrt{2} e^{t}}{2} \sin{\left (t + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                         
  /                                         
 |                                          
 |   t               1   E*cos(1)   E*sin(1)
 |  E *cos(t) dt = - - + -------- + --------
 |                   2      2          2    
/                                           
0                                           

$${{\cos 1\,E\,\log E+\sin 1\,E}\over{\left(\log E\right)^2+1}}-{{ \log E}\over{\left(\log E\right)^2+1}}$$

Численный ответ

1.37802461354736

Ответ (Неопределённый)

  /                                        
 |                            t    t       
 |  t                 cos(t)*e    e *sin(t)
 | E *cos(t) dt = C + --------- + ---------
 |                        2           2    
/                                          

$${{e^{\log E\,t}\,\sin t+\log E\,e^{\log E\,t}\,\cos t}\over{\left( \log E\right)^2+1}}$$