Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл e^t*cos(t) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
  /             
 |              
 |   t          
 |  E *cos(t) dt
 |              
/               
0
    ∫01etcos⁡(t) dt\int_{0}^{1} e^{t} \cos{\left (t \right )}\, dt
    Подробное решение

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      etcos⁡(t)=etcos⁡(t)e^{t} \cos{\left (t \right )} = e^{t} \cos{\left (t \right )}

    2. Используем интегрирование по частям:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(t)=cos⁡(t)u{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )} и пусть dv⁡(t)=et\operatorname{dv}{\left (t \right )} = e^{t} dx.

      Затем du⁡(t)=−sin⁡(t)\operatorname{du}{\left (t \right )} = - \sin{\left (t \right )} dx.

      Чтобы найти v(t)v{\left (t \right )}:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

        ∫et dt=et\int e^{t}\, dt = e^{t}

      Теперь решаем под-интеграл.

    3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      ∫−etsin⁡(t) dt=−∫etsin⁡(t) dt\int - e^{t} \sin{\left (t \right )}\, dt = - \int e^{t} \sin{\left (t \right )}\, dt

      1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

        1. Для подинтегрального выражения etsin⁡(t)e^{t} \sin{\left (t \right )}:

          пусть u(t)=sin⁡(t)u{\left (t \right )} = \sin{\left (t \right )} и пусть dv⁡(t)=et\operatorname{dv}{\left (t \right )} = e^{t}.

          Затем ∫etsin⁡(t) dt=etsin⁡(t)−∫etcos⁡(t) dt\int e^{t} \sin{\left (t \right )}\, dt = e^{t} \sin{\left (t \right )} - \int e^{t} \cos{\left (t \right )}\, dt.

        2. Для подинтегрального выражения etcos⁡(t)e^{t} \cos{\left (t \right )}:

          пусть u(t)=cos⁡(t)u{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )} и пусть dv⁡(t)=et\operatorname{dv}{\left (t \right )} = e^{t}.

          Затем ∫etsin⁡(t) dt=etsin⁡(t)−etcos⁡(t)+∫−etsin⁡(t) dt\int e^{t} \sin{\left (t \right )}\, dt = e^{t} \sin{\left (t \right )} - e^{t} \cos{\left (t \right )} + \int - e^{t} \sin{\left (t \right )}\, dt.

        3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

          2∫etsin⁡(t) dt=etsin⁡(t)−etcos⁡(t)2 \int e^{t} \sin{\left (t \right )}\, dt = e^{t} \sin{\left (t \right )} - e^{t} \cos{\left (t \right )}

          Поэтому,

          ∫etsin⁡(t) dt=et2sin⁡(t)−et2cos⁡(t)\int e^{t} \sin{\left (t \right )}\, dt = \frac{e^{t}}{2} \sin{\left (t \right )} - \frac{e^{t}}{2} \cos{\left (t \right )}

      Таким образом, результат будет: −et2sin⁡(t)+et2cos⁡(t)- \frac{e^{t}}{2} \sin{\left (t \right )} + \frac{e^{t}}{2} \cos{\left (t \right )}

    4. Теперь упростить:

      2et2sin⁡(t+π4)\frac{\sqrt{2} e^{t}}{2} \sin{\left (t + \frac{\pi}{4} \right )}

    5. Добавляем постоянную интегрирования:

      2et2sin⁡(t+π4)+constant\frac{\sqrt{2} e^{t}}{2} \sin{\left (t + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    2et2sin⁡(t+π4)+constant\frac{\sqrt{2} e^{t}}{2} \sin{\left (t + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2000020000
    Ответ [src]
      1                                         
  /                                         
 |                                          
 |   t               1   E*cos(1)   E*sin(1)
 |  E *cos(t) dt = - - + -------- + --------
 |                   2      2          2    
/                                           
0
    cos⁡1 E log⁡E+sin⁡1 E(log⁡E)2+1−log⁡E(log⁡E)2+1{{\cos 1\,E\,\log E+\sin 1\,E}\over{\left(\log E\right)^2+1}}-{{ \log E}\over{\left(\log E\right)^2+1}}
    Численный ответ [src]
    1.37802461354736
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                        
 |                            t    t       
 |  t                 cos(t)*e    e *sin(t)
 | E *cos(t) dt = C + --------- + ---------
 |                        2           2    
/
    elog⁡E t sin⁡t+log⁡E elog⁡E t cos⁡t(log⁡E)2+1{{e^{\log E\,t}\,\sin t+\log E\,e^{\log E\,t}\,\cos t}\over{\left( \log E\right)^2+1}}
    Упростить