Интеграл e^(x/y) (dx)

Вы ввели

  1      
  /      
 |       
 |   x   
 |   -   
 |   y   
 |  E  dx
 |       
/        
0        

$$\int_{0}^{1} e^{\frac{x}{y}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{x}{y}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{y}$ и подставим $du y$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = y \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $y e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $y e^{\frac{x}{y}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{\frac{x}{y}} = e^{\frac{x}{y}}$

   2. пусть $u = \frac{x}{y}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{y}$ и подставим $du y$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = y \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $y e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $y e^{\frac{x}{y}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $y e^{\frac{x}{y}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$y e^{\frac{x}{y}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                  
  /                  
 |                   
 |   x              1
 |   -              -
 |   y              y
 |  E  dx = -y + y*e 
 |                   
/                    
0                    

$${{E^{{{1}\over{y}}}\,y}\over{\log E}}-{{y}\over{\log E}}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                
 |                 
 |  x             x
 |  -             -
 |  y             y
 | E  dx = C + y*e 
 |                 
/                  

$${{E^{{{x}\over{y}}}\,y}\over{\log E}}$$