Интеграл e^x-e^-x (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  / x    -x\   
 |  \E  - E  / dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} e^{x} - e^{- x}\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - e^{- x}\, dx = - \int e^{- x}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = - x$.

            Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- x}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $e^{- x} = e^{- x}$

         2. пусть $u = - x$.

            Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- x}$

      Таким образом, результат будет: $e^{- x}$

   Результат есть: $e^{x} + e^{- x}$

2. Теперь упростить:

   $2 \cosh{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 \cosh{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$2 \cosh{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                             
  /                             
 |                              
 |  / x    -x\                -1
 |  \E  - E  / dx = -2 + E + e  
 |                              
/                               
0                               

$${{E^2-2\,E+1}\over{E\,\log E}}$$

Численный ответ

1.08616126963049

Ответ (Неопределённый)

  /                            
 |                             
 | / x    -x\           x    -x
 | \E  - E  / dx = C + E  + e  
 |                             
/                              

$${{E^{x}}\over{\log E}}+{{1}\over{E^{x}\,\log E}}$$