Интеграл (e^x-1)^2 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |          2   
 |  / x    \    
 |  \E  - 1/  dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \left(e^{x} - 1\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(e^{x} - 1\right)^{2} = e^{2 x} - 2 e^{x} + 1$

2. Интегрируем почленно:

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{2 x}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 2 e^{x}\, dx = - 2 \int e^{x}\, dx$

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Таким образом, результат будет: $- 2 e^{x}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Результат есть: $x + \frac{e^{2 x}}{2} - 2 e^{x}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + \frac{e^{2 x}}{2} - 2 e^{x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + \frac{e^{2 x}}{2} - 2 e^{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                            
  /                            
 |                             
 |          2           2      
 |  / x    \       5   e       
 |  \E  - 1/  dx = - + -- - 2*E
 |                 2   2       
/                              
0                              

$${{2\,\log E+E^2-4\,E}\over{2\,\log E}}+{{3}\over{2\,\log E}}$$

Численный ответ

0.757964392547235

Ответ (Неопределённый)

  /                                  
 |                                   
 |         2               2*x       
 | / x    \               e         x
 | \E  - 1/  dx = C + x + ---- - 2*e 
 |                         2         
/                                    

$$x+{{E^{2\,x}}\over{2\,\log E}}-{{2\,E^{x}}\over{\log E}}$$