Интеграл e^x+e^-x (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  / x    -x\   
 |  \E  + E  / dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} e^{x} + e^{- x}\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $e^{- x} = e^{- x}$

      2. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

   Результат есть: $e^{x} - e^{- x}$

2. Теперь упростить:

   $2 \sinh{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 \sinh{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$2 \sinh{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |  / x    -x\           -1
 |  \E  + E  / dx = E - e  
 |                         
/                          
0                          

$${{E^2-1}\over{E\,\log E}}$$

Численный ответ

2.3504023872876

Ответ (Неопределённый)

  /                            
 |                             
 | / x    -x\           x    -x
 | \E  + E  / dx = C + E  - e  
 |                             
/                              

$${{E^{x}}\over{\log E}}-{{1}\over{E^{x}\,\log E}}$$