Интеграл (e^x)*cos(x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |   x          
 |  E *cos(x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} e^{x} \cos{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $e^{x} \cos{\left (x \right )} = e^{x} \cos{\left (x \right )}$

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{x}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx = - \int e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx$

   1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

      1. Для подинтегрального выражения $e^{x} \sin{\left (x \right )}$:

         пусть $u{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{x}$.

         Затем $\int e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx = e^{x} \sin{\left (x \right )} - \int e^{x} \cos{\left (x \right )}\, dx$.

      2. Для подинтегрального выражения $e^{x} \cos{\left (x \right )}$:

         пусть $u{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{x}$.

         Затем $\int e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx = e^{x} \sin{\left (x \right )} - e^{x} \cos{\left (x \right )} + \int - e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx$.

      3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

         $2 \int e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx = e^{x} \sin{\left (x \right )} - e^{x} \cos{\left (x \right )}$

         Поэтому,

         $\int e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx = \frac{e^{x}}{2} \sin{\left (x \right )} - \frac{e^{x}}{2} \cos{\left (x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{x}}{2} \sin{\left (x \right )} + \frac{e^{x}}{2} \cos{\left (x \right )}$

4. Теперь упростить:

   $\frac{\sqrt{2} e^{x}}{2} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\sqrt{2} e^{x}}{2} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\sqrt{2} e^{x}}{2} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                         
  /                                         
 |                                          
 |   x               1   E*cos(1)   E*sin(1)
 |  E *cos(x) dx = - - + -------- + --------
 |                   2      2          2    
/                                           
0                                           

$${{\cos 1\,E\,\log E+\sin 1\,E}\over{\left(\log E\right)^2+1}}-{{ \log E}\over{\left(\log E\right)^2+1}}$$

Численный ответ

1.37802461354736

Ответ (Неопределённый)

  /                                        
 |                            x    x       
 |  x                 cos(x)*e    e *sin(x)
 | E *cos(x) dx = C + --------- + ---------
 |                        2           2    
/                                          

$${{e^{\log E\,x}\,\sin x+\log E\,e^{\log E\,x}\,\cos x}\over{\left( \log E\right)^2+1}}$$