Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл e^x*(sin(x)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
  /             
 |              
 |   x          
 |  E *sin(x) dx
 |              
/               
0
    ∫01exsin⁡(x) dx\int_{0}^{1} e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx
    Подробное решение

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      exsin⁡(x)=exsin⁡(x)e^{x} \sin{\left (x \right )} = e^{x} \sin{\left (x \right )}

    2. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

      1. Для подинтегрального выражения exsin⁡(x)e^{x} \sin{\left (x \right )}:

        пусть u(x)=sin⁡(x)u{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} и пусть dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{x}.

        Затем ∫exsin⁡(x) dx=exsin⁡(x)−∫excos⁡(x) dx\int e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx = e^{x} \sin{\left (x \right )} - \int e^{x} \cos{\left (x \right )}\, dx.

      2. Для подинтегрального выражения excos⁡(x)e^{x} \cos{\left (x \right )}:

        пусть u(x)=cos⁡(x)u{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} и пусть dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{x}.

        Затем ∫exsin⁡(x) dx=exsin⁡(x)−excos⁡(x)+∫−exsin⁡(x) dx\int e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx = e^{x} \sin{\left (x \right )} - e^{x} \cos{\left (x \right )} + \int - e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx.

      3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

        2∫exsin⁡(x) dx=exsin⁡(x)−excos⁡(x)2 \int e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx = e^{x} \sin{\left (x \right )} - e^{x} \cos{\left (x \right )}

        Поэтому,

        ∫exsin⁡(x) dx=ex2sin⁡(x)−ex2cos⁡(x)\int e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx = \frac{e^{x}}{2} \sin{\left (x \right )} - \frac{e^{x}}{2} \cos{\left (x \right )}

    3. Теперь упростить:

      −2ex2cos⁡(x+π4)- \frac{\sqrt{2} e^{x}}{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      −2ex2cos⁡(x+π4)+constant- \frac{\sqrt{2} e^{x}}{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    −2ex2cos⁡(x+π4)+constant- \frac{\sqrt{2} e^{x}}{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2000020000
    Ответ [src]
      1                                       
  /                                       
 |                                        
 |   x             1   E*sin(1)   E*cos(1)
 |  E *sin(x) dx = - + -------- - --------
 |                 2      2          2    
/                                         
0
    sin⁡1 E log⁡E−cos⁡1 E(log⁡E)2+1+1(log⁡E)2+1{{\sin 1\,E\,\log E-\cos 1\,E}\over{\left(\log E\right)^2+1}}+{{1 }\over{\left(\log E\right)^2+1}}
    Численный ответ [src]
    0.909330673631479
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                        
 |                     x                  x
 |  x                 e *sin(x)   cos(x)*e 
 | E *sin(x) dx = C + --------- - ---------
 |                        2           2    
/
    log⁡E elog⁡E x sin⁡x−elog⁡E x cos⁡x(log⁡E)2+1{{\log E\,e^{\log E\,x}\,\sin x-e^{\log E\,x}\,\cos x}\over{\left( \log E\right)^2+1}}
    Упростить