Интеграл tanh(x)^2 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |      2      
 |  tanh (x) dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} \tanh^{2}{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = \tanh{\left(x \right)}$.

   Тогда пусть $du = \left(1 - \tanh^{2}{\left(x \right)}\right) dx$ и подставим $- du$:

   $\int \frac{u^{2}}{u^{2} - 1}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{u^{2}}{u^{2} - 1}\right)\, du = - \int \frac{u^{2}}{u^{2} - 1}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{u^{2}}{u^{2} - 1} = 1 - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}$

            1. пусть $u = u + 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(u + 1 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}$

            1. пусть $u = u - 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(u - 1 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}$

         Результат есть: $u + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- u - \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \frac{\log{\left(\tanh{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\tanh{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} - \tanh{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\log{\left(\tanh{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\tanh{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} - \tanh{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\log{\left(\tanh{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\tanh{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} - \tanh{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1 - tanh(1)

$$1 - \tanh{\left(1 \right)}$$

=

=

1 - tanh(1)

$$1 - \tanh{\left(1 \right)}$$

Численный ответ

0.238405844044235

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                
 |                                                                 
 |     2             log(1 + tanh(x))             log(-1 + tanh(x))
 | tanh (x) dx = C + ---------------- - tanh(x) - -----------------
 |                          2                             2        
/                                                                  

$$\int \tanh^{2}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\log{\left(\tanh{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\tanh{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} - \tanh{\left(x \right)}$$

График