Интеграл tanh(x)^(2) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |      2      
 |  tanh (x) dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \tanh^{2}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = \tanh{\left (x \right )}$.

   Тогда пусть $du = \left(- \tanh^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx$ и подставим $- du$:

   $\int \frac{u^{2}}{u^{2} - 1}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{u^{2}}{u^{2} - 1}\, du = - \int \frac{u^{2}}{u^{2} - 1}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{u^{2}}{u^{2} - 1} = 1 - \frac{1}{2 u + 2} + \frac{1}{2 u - 2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{2 u + 2}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u + 1}\, du$

            1. пусть $u = u + 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u + 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (u + 1 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 u - 2}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u - 1}\, du$

            1. пусть $u = u - 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u - 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u - 1 \right )}$

         Результат есть: $u + \frac{1}{2} \log{\left (u - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (u + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- u - \frac{1}{2} \log{\left (u - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (u + 1 \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} + 1 \right )} - \tanh{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} + 1 \right )} - \tanh{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} + 1 \right )} - \tanh{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                          
  /                          
 |                           
 |      2                    
 |  tanh (x) dx = 1 - tanh(1)
 |                           
/                            
0                            

$$1-{{e^2-1}\over{e^2+1}}$$

Численный ответ

0.238405844044235

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                
 |                                                                 
 |     2             log(1 + tanh(x))             log(-1 + tanh(x))
 | tanh (x) dx = C + ---------------- - tanh(x) - -----------------
 |                          2                             2        
/                                                                  

$$x-{{2}\over{e^ {- 2\,x }+1}}$$