Интеграл tanh(x)^(3) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |      3      
 |  tanh (x) dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \tanh^{3}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = \tanh{\left (x \right )}$.

   Тогда пусть $du = \left(- \tanh^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx$ и подставим $- du$:

   $\int \frac{u^{3}}{u^{2} - 1}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{u^{3}}{u^{2} - 1}\, du = - \int \frac{u^{3}}{u^{2} - 1}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{u^{3}}{u^{2} - 1} = u + \frac{1}{2 u + 2} + \frac{1}{2 u - 2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 u + 2}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u + 1}\, du$

            1. пусть $u = u + 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u + 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u + 1 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 u - 2}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u - 1}\, du$

            1. пусть $u = u - 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u - 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u - 1 \right )}$

         Результат есть: $\frac{u^{2}}{2} + \frac{1}{2} \log{\left (u - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (u + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2} \log{\left (u - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (u + 1 \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} + 1 \right )} - \frac{1}{2} \tanh^{2}{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} + 1 \right )} - \frac{1}{2} \tanh^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} + 1 \right )} - \frac{1}{2} \tanh^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                              
  /                                              
 |                                           2   
 |      3                                tanh (1)
 |  tanh (x) dx = 1 - log(1 + tanh(1)) - --------
 |                                          2    
/                                                
0                                                

$${{\left(e^4+2\,e^2+1\right)\,\log \left(e^ {- 2 }\,\left(e^2+1 \right)\right)+e^4+4\,e^2+1}\over{e^4+2\,e^2+1}}-{{2\,\log 2+1 }\over{2}}$$

Численный ответ

0.14376800129004

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                 
 |                       2                                          
 |     3             tanh (x)   log(1 + tanh(x))   log(-1 + tanh(x))
 | tanh (x) dx = C - -------- - ---------------- - -----------------
 |                      2              2                   2        
/                                                                   

$$\log \left(e^ {- 2\,x }+1\right)+{{2\,e^ {- 2\,x }}\over{2\,e^ {- 2 \,x }+e^ {- 4\,x }+1}}+x$$