Интеграл (cos(4*x))^2 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     2        
 |  cos (4*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{2}{\left (4 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = 8 x$.

         Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

   Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                 
  /                                 
 |                                  
 |     2           1   cos(4)*sin(4)
 |  cos (4*x) dx = - + -------------
 |                 2         8      
/                                   
0                                   

$${{\sin 8+8}\over{16}}$$

Численный ответ

0.561834890413961

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 |    2               x   sin(8*x)
 | cos (4*x) dx = C + - + --------
 |                    2      16   
/                                 

$${{{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+4\,x}\over{8}}$$