Интеграл (cos(2*x))^4 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     4        
 |  cos (2*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = 8 x$.

                  Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = 4 x$.

            Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = 8 x$.

                  Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = 4 x$.

            Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

Ответ

       3                            
3   cos (2)*sin(2)   3*cos(2)*sin(2)
- + -------------- + ---------------
8         8                 16      

$$\frac{3 \sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos^{3}{\left(2 \right)}}{8} + \frac{3}{8}$$

=

=

       3                            
3   cos (2)*sin(2)   3*cos(2)*sin(2)
- + -------------- + ---------------
8         8                 16      

$$\frac{3 \sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos^{3}{\left(2 \right)}}{8} + \frac{3}{8}$$

Численный ответ

0.295858410689999

Ответ (Неопределённый)

  /                                            
 |                                             
 |    4               sin(4*x)   sin(8*x)   3*x
 | cos (2*x) dx = C + -------- + -------- + ---
 |                       8          64       8 
/                                              

$$\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$$

График