Интеграл cos(2*x)^(5) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     5        
 |  cos (2*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \cos^{5}{\left (2 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{5}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (2 x \right )}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{2} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{10} \sin^{5}{\left (u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Результат есть: $\frac{1}{10} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{10} \sin^{5}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (2 x \right )} = \sin^{4}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )} - 2 \sin^{2}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )} + \cos{\left (2 x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \sin{\left (2 x \right )}$.

         Тогда пусть $du = 2 \cos{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{4}\, du = \frac{1}{2} \int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u^{5}}{10}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{10} \sin^{5}{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 2 \sin^{2}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left (2 x \right )}$.

            Тогда пусть $du = 2 \cos{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{2}\, du = \frac{1}{2} \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (2 x \right )}$

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{10} \sin^{5}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{10} \sin^{5}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{10} \sin^{5}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                          
  /                                          
 |                             3         5   
 |     5           sin(2)   sin (2)   sin (2)
 |  cos (2*x) dx = ------ - ------- + -------
 |                   2         3         10  
/                                            
0                                            

$${{3\,\sin ^52-10\,\sin ^32+15\,\sin 2}\over{30}}$$

Численный ответ

0.266202423408773

Ответ (Неопределённый)

  /                                                   
 |                                  3           5     
 |    5               sin(2*x)   sin (2*x)   sin (2*x)
 | cos (2*x) dx = C + -------- - --------- + ---------
 |                       2           3           10   
/                                                     

$${{{{\sin ^5\left(2\,x\right)}\over{5}}-{{2\,\sin ^3\left(2\,x \right)}\over{3}}+\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}$$