Интеграл cos(log(x)) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  cos(log(x)) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int\limits_{0}^{1} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

   $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$

   1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

      1. Для подинтегрального выражения $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

         пусть $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Затем $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

      2. Для подинтегрального выражения $- e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

         пусть $u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Затем $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$.

      3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

         $2 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}$

         Поэтому,

         $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\sqrt{2} x \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\sqrt{2} x \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\sqrt{2} x \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1/2

$$\frac{1}{2}$$

=

=

1/2

$$\frac{1}{2}$$

Численный ответ

0.5

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                      x*cos(log(x))   x*sin(log(x))
 | cos(log(x)) dx = C + ------------- + -------------
 |                            2               2      
/                                                    

$$\int \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\, dx = C + \frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}$$