Интеграл cos(5*x)^(4) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     4        
 |  cos (5*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \cos^{4}{\left (5 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{4}{\left (5 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (10 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (10 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (10 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (10 x \right )} + \frac{1}{4}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (10 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (10 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{2}{\left (10 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (20 x \right )} + \frac{1}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2} \cos{\left (20 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (20 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 20 x$.

               Тогда пусть $du = 20 dx$ и подставим $\frac{du}{20}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{20} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{20} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{20} \sin{\left (20 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{40} \sin{\left (20 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{40} \sin{\left (20 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{160} \sin{\left (20 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{2} \cos{\left (10 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (10 x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = 10 x$.

         Тогда пусть $du = 10 dx$ и подставим $\frac{du}{10}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{10} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{10} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{10} \sin{\left (10 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{20} \sin{\left (10 x \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

   Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{20} \sin{\left (10 x \right )} + \frac{1}{160} \sin{\left (20 x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{20} \sin{\left (10 x \right )} + \frac{1}{160} \sin{\left (20 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 x}{8} + \frac{1}{20} \sin{\left (10 x \right )} + \frac{1}{160} \sin{\left (20 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                    
  /                                                    
 |                        3                            
 |     4           3   cos (5)*sin(5)   3*cos(5)*sin(5)
 |  cos (5*x) dx = - + -------------- + ---------------
 |                 8         20                40      
/                                                      
0                                                      

$${{\sin 20+8\,\sin 10+60}\over{160}}$$

Численный ответ

0.353504852272579

Ответ (Неопределённый)

  /                                              
 |                                               
 |    4               sin(10*x)   sin(20*x)   3*x
 | cos (5*x) dx = C + --------- + --------- + ---
 |                        20         160       8 
/                                                

$${{{{{{\sin \left(20\,x\right)}\over{2}}+10\,x}\over{8}}+{{\sin \left(10\,x\right)}\over{2}}+{{5\,x}\over{2}}}\over{10}}$$