Интеграл cos(t)^2 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     2      
 |  cos (t) dt
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \cos^{2}{\left (t \right )}\, dt$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{2}{\left (t \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (2 t \right )} + \frac{1}{2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{2} \cos{\left (2 t \right )}\, dt = \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 t \right )}\, dt$

      1. пусть $u = 2 t$.

         Тогда пусть $du = 2 dt$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \sin{\left (2 t \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (2 t \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

   Результат есть: $\frac{t}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 t \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{t}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 t \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{t}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 t \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                               
  /                               
 |                                
 |     2         1   cos(1)*sin(1)
 |  cos (t) dt = - + -------------
 |               2         2      
/                                 
0                                 

$${{\sin 2+2}\over{4}}$$

Численный ответ

0.72732435670642

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    2             t   sin(2*t)
 | cos (t) dt = C + - + --------
 |                  2      4    
/                               

$${{{{\sin \left(2\,t\right)}\over{2}}+t}\over{2}}$$