Интеграл (cos(t))^3 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  cos (t) dt
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \cos^{3}{\left (t \right )}\, dt$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{3}{\left (t \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (t \right )} + 1\right) \cos{\left (t \right )}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sin{\left (t \right )}$.

      Тогда пусть $du = \cos{\left (t \right )} dt$ и подставим $du$:

      $\int - u^{2} + 1\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- \sin^{2}{\left (t \right )} + 1\right) \cos{\left (t \right )} = - \sin^{2}{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )} + \cos{\left (t \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \sin^{2}{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )}\, dt = - \int \sin^{2}{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )}\, dt$

         1. пусть $u = \sin{\left (t \right )}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left (t \right )} dt$ и подставим $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (t \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (t \right )}$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left (t \right )}\, dt = \sin{\left (t \right )}$

      Результат есть: $- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                
  /                                
 |                    3            
 |     3           sin (1)         
 |  cos (t) dt = - ------- + sin(1)
 |                    3            
/                                  
0                                  

$$-{{\sin ^31-3\,\sin 1}\over{3}}$$

Численный ответ

0.642863239277578

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                     3            
 |    3             sin (t)         
 | cos (t) dt = C - ------- + sin(t)
 |                     3            
/                                   

$$\sin t-{{\sin ^3t}\over{3}}$$