Интеграл cos(3*x)^4 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     4        
 |  cos (3*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{4}{\left(3 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{4}{\left(3 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{4}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = 12 x$.

                  Тогда пусть $du = 12 dx$ и подставим $\frac{du}{12}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{144}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = 6 x$.

            Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{4}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = 12 x$.

                  Тогда пусть $du = 12 dx$ и подставим $\frac{du}{12}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{144}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = 6 x$.

            Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                       3          
3   cos(3)*sin(3)   cos (3)*sin(3)
- + ------------- + --------------
8         8               12      

$$\frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{3}{\left(3 \right)}}{12} + \frac{3}{8}$$

=

=

                       3          
3   cos(3)*sin(3)   cos (3)*sin(3)
- + ------------- + --------------
8         8               12      

$$\frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{3}{\left(3 \right)}}{12} + \frac{3}{8}$$

Численный ответ

0.346126073920918

Ответ (Неопределённый)

  /                                             
 |                                              
 |    4               sin(6*x)   sin(12*x)   3*x
 | cos (3*x) dx = C + -------- + --------- + ---
 |                       12          96       8 
/                                               

$$\int \cos^{4}{\left(3 x \right)}\, dx = C + \frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}$$

График