Интеграл cos(3*x)^(2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
      /             
     |              
     |     2        
     |  cos (3*x) dx
     |              
    /               
    0               
    01cos2(3x)dx\int_{0}^{1} \cos^{2}{\left (3 x \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      cos2(3x)=12cos(6x)+12\cos^{2}{\left (3 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + \frac{1}{2}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        12cos(6x)dx=12cos(6x)dx\int \frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (6 x \right )}\, dx

        1. пусть u=6xu = 6 x.

          Тогда пусть du=6dxdu = 6 dx и подставим du6\frac{du}{6}:

          cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            cos(u)du=16cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{6} \int \cos{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

              cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

            Таким образом, результат будет: 16sin(u)\frac{1}{6} \sin{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          16sin(6x)\frac{1}{6} \sin{\left (6 x \right )}

        Таким образом, результат будет: 112sin(6x)\frac{1}{12} \sin{\left (6 x \right )}

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

      Результат есть: x2+112sin(6x)\frac{x}{2} + \frac{1}{12} \sin{\left (6 x \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x2+112sin(6x)+constant\frac{x}{2} + \frac{1}{12} \sin{\left (6 x \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x2+112sin(6x)+constant\frac{x}{2} + \frac{1}{12} \sin{\left (6 x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-1010
    Ответ [src]
      1                                 
      /                                 
     |                                  
     |     2           1   cos(3)*sin(3)
     |  cos (3*x) dx = - + -------------
     |                 2         6      
    /                                   
    0                                   
    sin6+612{{\sin 6+6}\over{12}}
    Численный ответ [src]
    0.476715375150089
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                               
     |                                
     |    2               x   sin(6*x)
     | cos (3*x) dx = C + - + --------
     |                    2      12   
    /                                 
    sin(6x)2+3x6{{{{\sin \left(6\,x\right)}\over{2}}+3\,x}\over{6}}