Интеграл cos(3*x)^(6) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     6        
 |  cos (3*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{6}{\left(3 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{6}{\left(3 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{3}{\left(6 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)}$

         2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = \sin{\left(6 x \right)}$.

               Тогда пусть $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ и подставим $du$:

               $\int \left(\frac{1}{6} - \frac{u^{2}}{6}\right)\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- \frac{u^{2}}{6}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{6}$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{18}$

                  Результат есть: $- \frac{u^{3}}{18} + \frac{u}{6}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)} = - \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} + \cos{\left(6 x \right)}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\, dx$

                  1. пусть $u = \sin{\left(6 x \right)}$.

                     Тогда пусть $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

                     $\int \frac{u^{2}}{36}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{u^{2}}{6}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{6}$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{18}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18}$

               1. пусть $u = 6 x$.

                  Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$

               Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$

            Метод #3

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)} = - \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} + \cos{\left(6 x \right)}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\, dx$

                  1. пусть $u = \sin{\left(6 x \right)}$.

                     Тогда пусть $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

                     $\int \frac{u^{2}}{36}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{u^{2}}{6}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{6}$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{18}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18}$

               1. пусть $u = 6 x$.

                  Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$

               Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = 12 x$.

                  Тогда пусть $du = 12 dx$ и подставим $\frac{du}{12}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{144}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3 \cos{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$

         1. пусть $u = 6 x$.

            Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{16}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

      Результат есть: $\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{3}{\left(6 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)}$

         2. пусть $u = \sin{\left(6 x \right)}$.

            Тогда пусть $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int \left(\frac{1}{6} - \frac{u^{2}}{6}\right)\, du$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \frac{u^{2}}{6}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{6}$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{18}$

               Результат есть: $- \frac{u^{3}}{18} + \frac{u}{6}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = 12 x$.

                  Тогда пусть $du = 12 dx$ и подставим $\frac{du}{12}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{144}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3 \cos{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$

         1. пусть $u = 6 x$.

            Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{16}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

      Результат есть: $\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

Ответ

        5                                    3          
5    cos (3)*sin(3)   5*cos(3)*sin(3)   5*cos (3)*sin(3)
-- + -------------- + --------------- + ----------------
16         18                48                72       

$$\frac{5 \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{48} + \frac{5 \sin{\left(3 \right)} \cos^{3}{\left(3 \right)}}{72} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{5}{\left(3 \right)}}{18} + \frac{5}{16}$$

=

=

        5                                    3          
5    cos (3)*sin(3)   5*cos(3)*sin(3)   5*cos (3)*sin(3)
-- + -------------- + --------------- + ----------------
16         18                48                72       

$$\frac{5 \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{48} + \frac{5 \sin{\left(3 \right)} \cos^{3}{\left(3 \right)}}{72} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{5}{\left(3 \right)}}{18} + \frac{5}{16}$$

Численный ответ

0.280982915056029

Ответ (Неопределённый)

  /                                                         
 |                       3                                  
 |    6               sin (6*x)   sin(6*x)   sin(12*x)   5*x
 | cos (3*x) dx = C - --------- + -------- + --------- + ---
 |                       144         12          64       16
/                                                           

$$\int \cos^{6}{\left(3 x \right)}\, dx = C + \frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}$$

График