Интеграл cos(x/4)^(2) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     2/x\   
 |  cos |-| dx
 |      \4/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )} = \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} + \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} + \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} + \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{2} + \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                       
  /                                       
 |                                        
 |     2/x\                               
 |  cos |-| dx = 1/2 + 2*cos(1/4)*sin(1/4)
 |      \4/                               
 |                                        
/                                         
0                                         

$${{2\,\sin \left({{1}\over{2}}\right)+1}\over{2}}$$

Численный ответ

0.979425538604203

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                            
 |    2/x\          x      /x\
 | cos |-| dx = C + - + sin|-|
 |     \4/          2      \2/
 |                            
/                             

$$2\,\left({{x}\over{4}}+{{\sin \left({{x}\over{2}}\right)}\over{2}} \right)$$